Kuinka saavuttaa parempi keskiarvo huonommilla tenttiarvosanoilla?

Jo pariin otteeseen lupailemani kolmas osa valehtelevien tilastojen sarjaan on nyt täällä. Jos et ole lukenut edellisiä osia, käy ensin katsomassa kirjoitukset Tilastot voivat valehdella - Simpsonin paradoksi ja Miksi raskaana tupakoivat äidit saavat terveempiä lapsia?

Tällä kertaa pohditaan toisen esimerkin avulla ensimmäisessä kirjoituksessa ollutta paradoksia, jossa lumelääke toimi paremmin sekä miehille että naisille, mutta oli silti molemmat sukupuolet huomioiden huonompi. Samalla kyseessä on kaikille opiskelijoille oivallinen vinkki, sillä lääkkeiden vertailun sijaan nyt selviää kuinka voit olla parempi opiskelija saamalla huonompia tenttiarvosanoja!

Phileas Phuksi opiskelee pääaineenaan matematiikkaa. Maisterin tutkintoon kuuluu 250 opintopistettä matematiikkaa ja 50 vapaavalintaista sivuainetta, joka Phileaksen kohdalla on ufologia.
Kari af Grandi sen sijaan opiskelee pääaineenaan ufologiaa (250op) ja sivuaineena matematiikkaa (50op)

Phileas Phuksi on saanut jokaisesta matematiikan kurssistaan arvosanaksi 4. Kari af Grandi sen sijaan on saanut kaikista matematiikan kursseistaan täydet 5.
Ufologian kursseista Phileas Phuksi on hädin tuskin päässyt läpi saaden jokaisesta ykkösen. Kari af Grandi taas on saanut kaikista ufologian kursseista kakkosen.

Kuten nähdään, Kari af Grandi on saanut paremman keskiarvon sekä matematiikassa (5 vs 4), että ufologiassa (2 vs 1).

Lasketaan molempien keskiarvot koko opinnoista.
Phileas Phuksi: (250*4+50*1) / 300 = 3,5
Kari af Grandi: (250*2+50*5) / 300 = 2,5

Phileas Phuksilla on siis kokonaisen numeron parempi keskiarvo opinnoistaan, vaikka hänellä on huonompi keskiarvo sekä matematiikassa että ufologiassa, eikä kumpikaan ole opiskellut mitään muita aineita. Ei muuta kuin soveltamaan tätä temppua omiin opintoihin ja keskiarvo nousuun!

Kyseessä on sama paradoksi kuin lumelääkkeen ja oikean lääkkeen vertailussa aiemmassa tekstissä, mutta tässä esimerkissä paradoksin selitys tuntuu helpommin käsitettävältä. Jos saa hyviä arvosanoja kursseista, joita on suurin osa opintopisteistä, ja huonot arvosanat vähemmällä painoarvolla olevista kursseista, lopputulos on parempi.
Täysin sama selitys pätee myös lumelääketutkimukseen, jossa salaisuus piilee tutkimusryhmien kokojen vertailussa. Vaikka lumelääkkeellä oli hyvä vaikutus pienessä ryhmässä, huonompi vaikutus suuremmassa ryhmässä laski sen keskiarvoa reilusti. Vaikka oikea lääke oli huonompi sekä miehissä että naisissa, se suoriutui suhteellisesti paremmin suuressa ryhmässä ja kaikkein huonoin tulos tuli pienessä ryhmässä, jonka merkitys kokonaisuuden kannalta oli pieni.

Tämän viimeisen(?) tilastoparadoksien sarjaan kuuluvan tekstin myötä: Varokaa heikkoja tilastoja ja käyttäkää luovuutta vapaavalintaisissa kursseissa. Itse suosittelen ufologiaa.

Miksi raskaana tupakoivat äidit saavat terveempiä lapsia?

Tämä on jatko-osa edelliseen kirjoitukseen Tilastot voivat valehdella - Simpsonin paradoksi, joka käsitteli tilastoja ja niihin liittyviä epäloogisuuksia. Jos et ole lukenut kyseistä kirjoitusta, tee se nyt ennen kuin jatkat eteenpäin.

Viime kerralla jäi pohdittavaksi hämmentävältä kuulostava, mutta totta oleva tilastohavainto:

1. Raskauden aikainen tupakointi kasvattaa lapsikuolleisuutta.
2. Pienikokoisena syntyvä lapsi kasvattaa lapsikuolleisuutta.
3. Silti raskauden aikana tupakoineiden äitien normaalikokoisten lasten lapsikuolleisuus on samanlainen kuin tupakoimattomilla, ja tupakoineiden äitien pienikokoisten lasten lapsikuolleisuus jopa pienempi kuin tupakoimattomilla!

Kuten viime kerralla jo selvisi, kyseessä on yksi esimerkki Simpsonin paradoksista. Mutta mistä oikeasti on kyse? Miksi kaksi negatiivista asiaa tuottaakin terveempiä lapsia? Ja kannattaako pienikokoista sikiötä odottavan näiden tilastojen mukaisesti alkaa polttaa tupakkaa?

Tupakkaa ei tietenkään kannata polttaa, vaan paradoksin ratkaisun jäljille pääsee ottamalla huomioon sekoittavan tekijän: tupakointi pienentää syntyvän lapsen kokoa. Niinpä huomattavasti suurempi osa tupakoivien lapsista on pienikokoisia kuin tupakoimattomien lapsista. Vastaavasti ne lapset, jotka olisivat tupakoimatta kaikkein terveimpiä ja suurikokoisempia, menevätkin äidin tupakoinnin takia normaalikokoisten ryhmään. Suurikokoisissa taas on lähes pelkästään tupakoimattomien lapsia.

Jos yksinkertaistetaan siten, että lapsen koko vaikuttaa suoraan terveyteen ja pienikokoisuus johtuu joko tupakasta tai sairauksista, voidaan ajatella, että kahta normaalikokoista lasta verratessa tupakoimattoman lapsi on perusterve normilapsi, mutta ollakseen normaalikokoinen tupakoivan äidin lapsen täytyy olla muilta osin tavallista terveempi ja geeneiltään isompikokoinen. Tästä syystä lapset ovat yhtä terveitä. Tupakoivan äidin todennäköisyys vain on pienempi saada tällainen lapsi.

Se, että pienikokoinen lapsi on terveempi tupakoivasta äidistä syntyneenä selittyy puolestaan sillä, että vaikka tupakointi pienentää vauvan kokoa ja on sen terveydelle haitallista, muut pienikokoisena syntymiseen johtavat syyt ovat keskimäärin tupakoimista vaarallisempia. Ja täytyy jälleen muistaa, että tupakoimattomilla pienikokoisia lapsia syntyy harvoin, tupakkaa polttavilla paljon enemmän.

Ei siis altisteta sikiöitä tupakansavulle ja ollaan varovaisia tilastojen kanssa!

Ensi kerralla tilastojen ilkeässä maailmassa pureudutaan toiseen Tilastot voivat valehdella - Simpsonin paradoksi -kirjoituksessa esiintyneeseen esimerkkiin, eli kuinka hävitä kahdesta osa-alueesta koostuva kilpailu olemalla molemmissa osa-alueissa parempi.

Tilastot voivat valehdella - Simpsonin paradoksi

Tilastot. Antoivat maailmalle näyttöön perustuvan lääketieteen, mutta veivät ikävästi mielipiteet. Nyt tilastot ovat täällä.
Tilastot ovat objektiivisinta ja faktapohjaisinta tietoa mitä kuvitella saattaa, mutta silti joskus kuulee väitettävän, että tilastot ovat vain tapa ohjailla pienen ihmisen mieltä. Voivatko tilastot valehdella?

Tehdään pieni esimerkkitilasto kuvitteellisesta lääketutkimuksesta. Tutkitaan lääkkeen vaikutusta sairaudesta paranemiseen. Tutkimukseen otetaan 80 henkilöä: 40 miestä ja 40 naista. Lääkettä heistä saa 30 miestä ja 10 naista. Toisessa ryhmässä 10 miestä ja 30 naista saavat lumelääkettä. Kokeen tulokset on esitettynä seuraavassa taulukossa, josta ilmenee sekä naisten että miesten osalta lääkkeen avulla ja lumelääkkeen avulla parantuneiden määrät ja osuus kokeeseen osallistuneista.

Kuten nähdään, sekä miehissä että naisissa suurempi osa lumelääkettä syöneistä parantui kuin tutkittavaa lääkettä syöneistä. Miehissä lumelääkkeellä parantui 70%, kun oikealla lääkkeellä vain 60%. Naisista puolestaan 30% parantui lumelääkkeellä, kun oikea lääke paransi vain 20%. Voidaan siis selvästi päätellä kyseisen lääkkeen olevan tehottomampi kuin lumelääke. Paitsi että ei voida. Katsotaanpa samaa taulukkoa, mutta tällä kertaa yhdistetään molemmat sukupuolet yhteen ryhmään.

Zädäm! Lääkkeen avulla parantuneita on suurempi prosentti (50%) kuin lumelääkkeellä parantuneita (40%). Lääke on siis lumelääkettä tehokkaampi siitäkin huolimatta, että se oli tehottomampi sekä miehillä että naisilla. Tämä ilmiö tunnetaan tilastoihmisten piireissä Simpsonin paradoksina.

Sama paradoksi esiintyy myös sellaisessa oudolta kuulostavassa tosielämän tilastofaktassa, että vaikka sekä syntyvän lapsen pienikokoisuus että äidin raskaudenaikainen tupakointi nostavat lapsikuolleisuutta, tupakoivien äitien normaalikokoiset lapset ovat yhtä terveitä kuin tupakoimattomienkin ja tupakoivien äitien pienikokoisena syntyvät lapset ovat terveempiä(!) kuin tupakoimattomien.

Pohdittavaksi kommentteihin:
Kannattaisiko odottavan äidin tupakoida, etenkin jos sikiö on pienikokoinen?
Onko sinua jymäytetty tilastoilla?